А.Я.ИСАЙКИН, канд.техн.наук, Исследование надежности стержневых железобетонных конструкций логико-вероятностными методами
С развитием радиоэлектронной промышленности появились логико-вероятностные методы оценки надежности структурно-сложных систем. Вычисление надежности таких систем проводится в предположении того, что вероятности отказов элементов известны. При этом предполагается, что отказы отдельных элементов системы статистически независимы. Однако в последнее время появились работы, доказывающие правомерность применения логико-вероятностных методов (ЛВМ) и при зависимых отказах. Это обстоятельство представляет возможность применения ЛВМ для исследования надежности железобетонных конструкций. Сравнительно недавно появились работы, в которых используется ЛВМ для оценки надежности как стержневых, так и других типов конструкций и систем [4, 6].
Работы по использованию ЛВМ для оценки надежности железобетонных стержневых конструкций начались под руководством М.Б.Краковского [2]. На начальном этапе определения надежности необходимо выделить всевозможные схемы разрушения, в которые входит минимальное число пластических шарниров. Это значит, что если в любой из выделенных схем убрать хотя бы один шарнир, то конструкция в механизм не превращается. По терминологии [3], схема разрушения с минимальным числом пластических шарниров соответствует минимальному сечению отказов. Назовем такую схему простейшей. Алгоритм получения самой функции надежности для различных стержневых железобетонных конструкций подробно описан в [2,3].
Рассмотрим двух-, трех-, четырех- и пятипролетные балки, загруженные внешней нагрузкой так, что она вызывает возникновение положительных изгибающих моментов в пролетных сечениях балок и отрицательных моментов над опорами (рис. 1). Для определенности примем, что отказы сечений вычисляются. Используя алгоритм, приведенный в [2], можно получить уравнение надежности для соответствующих балок в виде
При равенстве отказов всех критических сечений можно построить графики изменения надежности двух-, трех, четырех- и пятипролетных балок при прочих равных условиях (см.рис. 2). Номера кривых на рис. 2 совпадают с числом пролетов неразрезных балок. По взаимному расположению кривых можно сказать, что наибольшей надежностью обладает двухпролетная, а наименьшей — пятипролетная балка. В этом случае с увеличением числа пролетов (с увеличением степени статической неопределимости) наблюдается снижение надежности.
Рассмотрим однопролетные статически неопределимые балки (рис. 3). Используя разработанный алгоритм, можно получить уравнение надежности балок в виде
При равенстве отказов критических сечений и прочих равных условиях можно просто подсчитать надежность каждой балки при разных значениях отказов. Такой подсчет показывает, что для однопролетных балок наблюдается увеличение надежности с увеличением степени статической неопределимости.
Выполнить оценку надежности статически неопределимых рам в общем случае оказывается сложнее, чем неразрезных балок. Это связано с тем, что при одинаковой степени статической неопределимости количество критических сечений и простейших схем разрушения в рамных конструкциях оказывается больше (или равно), чем в балках.
Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Если в нормальных сечениях неразрезных балок при действии внешней нагрузки возникают только изгибающие моменты (при вертикальной нагрузке), то в сечениях рам, кроме моментов, возникают продольные сжимающие или растягивающие усилия. Этот факт оказывает значительное влияние на надежность конструкций.
Для выявления некоторых особенностей надежности рамных конструкций рассмотрим Г-образную раму с защемленными опорами (рис. 4).
Сравним надежности рамы и балочных конструкций при равенстве вероятностей безотказной работы всех критических сечений (рис. 5) и прочих равных условиях.
Цифрами 1, 2 и 3 обозначены кривые надежности соответственно балки с защемленными концами, Г-образной рамы и четырехпролетной неразрезной балки. По расположению кривых можно судить о том, что наибольшая надежность у однопролетной балки, а наименьшая — у четырехпролетной. Надежность рамы больше, чем у четырехпролетной, но меньше, чем у однопролетной балки. Это можно объяснить тем, что однопролетная балка имеет всего одну схему разрушения, состоящую из трех пластических шарниров, а четырехпролетная балка имеет четыре схемы разрушения, состоящие из двух и трех шарниров. Рамная конструкция имеет тоже четыре схемы разрушения, но все они включают в свой состав три пластических шарнира. Следовательно, надежность зависит от вида конструкции.
Изменим загружение Г-образной рамы. Примем, что внешняя нагрузка приложена только к ригелю рамы (см.рис. 4). При такой нагрузке возможно возникновение только двух простейших схем разрушения. Это схемы 3 и 4. В этом случае надежность рамы можно описать зависимостью пределимости такой конструкции равна трем. Точно такую же степень статической неопределимости имеет однопролетная балка с защемленными опорами (рис. 3, в).
Количество критических сечений у такой конструкции равно шести, а у балки — трем. Для сравнения рассмотрим также четырехпролетную балку со всеми шарнирными опорами (см.рис. 1). У этой конструкции количество критических сечений равно семи. Конструкции для исследования выбраны так, чтобы степени их статической неопределимости были одинаковыми.
В однопролетной балке может возникнуть одна схема разрушения, в четырехпролетной — четыре, в рамной конструкции — четыре.
Уравнение надежности Г-образной рамы имеет вид
Сравним вероятности безотказной работы рамы при различных загружениях ее стержней при равных вероятностях безотказной работы всех критических сечений.
На рис. 6 цифрами 1 и 2 обозначены кривые надежности рамы соответственно с нагрузкой на всех стержнях и с нагрузкой только на ригеле. Кривая 2 располагается над кривой 1. Это говорит о том, что при одинаковых вероятностях безотказной работы всех критических сечений надежность рамы с одним загруженным стержнем оказывается выше, так как в этом случае возможно возникновение только двух схем разрушения, в то время как при загружении всех стержней рамы возможно образование уже четырех схем. Таким образом, надежность рамы зависит от схемы загружения.
Введем в конструкцию (рис. 4) дополнительную связь (шайбу), ограничивающую угол поворота узла рамы (рис. 7). С введением дополнительной связи степень статической неопределимости рамы увеличилась. Примем, что все стержни загружены внешней нагрузкой. Введение дополнительной связи привело к уменьшению числа возможных простейших схем разрушения. Количество критических уменьшается число простейших схем разрушения. Таким образом, надежность рамы зависит от степени статической неопределимости, схемы загружения и вида конструкции.
Простейшие схемы разрушения не являются независимыми, так как некоторые сечения могут входить в состав нескольких схем. Кроме того, при образовании в каком-либо сечении пластического шарнира наблюдается процесс перераспределения усилий. Связь между схемами разрушения зависит также от вероятностей безотказной работы всех критических сечений. С увеличением этой вероятности связь между простейшими схемами уменьшается [2, 3].
Если принять предположение о статистической независимости всех простейших схем, то надежность статически неопределимой конструкции можно определить по формуле
Проверим это предположение на примере трехпролетной балки, надежность которой описывается уравнением (2). Если считать, что все простейшие схемы у трехпролетной балки статистически независимыми и использовать формулу (5), то надежность балки можно записать в виде
Сравним надежности конструкции с дополнительной связью и без нее при равенстве вероятности безотказной работы всех критических сечений. На рис. 8 цифрами 1 и 2 обозначены кривые изменения надежности рамы соответственно с дополнительной связью и без нее. Кривая 1 располагается выше кривой 2. Следовательно, введение дополнительной связи привело к увеличению надежности рамы. Это можно объяснить тем, что с введением связи
Каждый сомножитель, заключенный в скобки, в формуле (6) представляет собой вероятность нереализации простейшей схемы разрушения.
Сравним графически (рис. 9) надежность балки, вычисленную по точной (2) и приближенной зависимости (5), при равенстве вероятностей безотказной работы всех критических сечений. Цифрами 1 и 2 на рис. 9 обозначены кривые надежности балки, построенные соответственно по точной и приближенной зависимостям. Как видно из расположения этих кривых, зависимость (5) достаточно точно описывает надежность конструкции. При R > 0,9 кривые 1 и 2 практически сливаются. Это говорит о том, что при R > 0,9 формула (5) с очень большой степенью точности может быть применена для вычисления надежности неразрезных балок, а все простейшие схемы разрушения можно считать статистически независимыми. Аналогичные результаты получаются и для рамных конструкций.
На основании проведенных исследований можно придти к следующим выводам.
1. При вероятности безотказной работы критических сечений Л, > 0,9 с очень большой степенью точности все простейшие схемы разрушения можно считать статистически независимыми.
2. Надежность статически неопределимых конструкций выше надежности статически определимых (при прочих равных условиях).
3. Вероятность безотказной работы статически неопределимых конструкций зависит от степени статической неопределимости и схемы загружения. Если увеличение степени статической неопределимости или изменение схемы загружения (или изменение интенсивности нагрузок) связано с уменьшением числа возможных схем разрушения или с увеличением числа шарниров, необходимых для реализации простейших схем разрушения, то надежность конструкции увеличивается. Если же увеличение степени статической неопределимости или изменение схемы загружения связано с возможностью возникновения новых простейших схем разрушения, то надежность конструкции уменьшается.
Бетон и железобетон, 1999 №1